Inzicht in de Interval van Convergence

In tegenstelling tot de meetkundige reeks en p -serie, een machtreeks vaak convergeert of divergeert gebaseerd op de x-waarde. Dit leidt tot een nieuw concept bij de behandeling machtreeks: het interval van convergentie.

De interval van de convergentie voor een machtreeks is de verzameling van x-waarden waarvoor die reeks convergeert.

De interval van de convergentie is nooit leeg

Elke machtreeks convergeert voor een bepaalde waarde van x. Dat wil zeggen, het interval van convergentie voor een machtreeks is nooit de lege verzameling.

Hoewel dit feit heeft nuttige gevolgen, het is eigenlijk vrij veel een no-brainer. Bijvoorbeeld, neem een ​​kijkje op de volgende machtreeks:

Inzicht in de Interval van Convergence


Wanneer x = 0, deze serie evalueert tot 1 + 0 + 0 + 0 + ..., dus blijkbaar convergeert naar 1. Ook, neem een kijkje op deze macht serie:

Inzicht in de Interval van Convergence


Als nu x = -5, de reeks convergeert naar 0, even triviaal als laatste voorbeeld.

Merk op dat in beide voorbeelden de reeks convergeert trivially bij x = een voor een machtreeks gecentreerd op.

Drie mogelijkheden voor het interval van convergentie

Drie mogelijkheden zijn voor het interval van de convergentie van enige macht serie:

  • De reeks convergeert alleen wanneer x = a.
  • De serie convergeert op bepaalde interval (open of gesloten aan beide uiteinden) gecentreerd op.
  • De reeks convergeert voor alle reële waarden van x.

Stel bijvoorbeeld dat u wilt het interval van convergentie te vinden:

Inzicht in de Interval van Convergence


Deze macht serie is gecentreerd op 0, dus het convergeert wanneer x = 0. Met behulp van de verhouding test, kun je erachter komen of het convergeert voor andere waarden van x Om te beginnen, het opzetten van de volgende beperking.:

Inzicht in de Interval van Convergence

Om deze limiet te evalueren, te beginnen door het annuleren van x n in de teller en noemer:

Inzicht in de Interval van Convergence


Vervolgens verdelen de haakjes in de teller verwijderen:

Inzicht in de Interval van Convergence


Zoals het er nu, deze limiet is van de vorm

Inzicht in de Interval van Convergence


dus van toepassing Regel van l'Hôpital, differentiëren over de variabele n:

Inzicht in de Interval van Convergence


Uit dit resultaat, de ratio-toets vertelt je dat de serie:

  • Convergeert als -1 <x <1
  • Divergeert als x <-1 en x> 1
  • Kunnen convergeren of divergeren wanneer x = 1 en x = -1

Gelukkig is het gemakkelijk om te zien wat er gebeurt in deze twee overige gevallen. Hier is wat de serie eruit ziet als x = 1:

Inzicht in de Interval van Convergence


Het is duidelijk, de reeks divergeert. Ook hier is hoe het eruit ziet wanneer x = -1:

Inzicht in de Interval van Convergence


Deze afwisselende serie zwaait wild tussen negatieve en positieve waarden, dus het verschilt ook.

Als laatste voorbeeld, stel dat je wilt het interval van convergentie voor de volgende series:

Inzicht in de Interval van Convergence


Deze serie is gecentreerd op 0, dus het convergeert wanneer x = 0. De echte vraag is of het convergeert voor andere waarden van x. Omdat dit een afwisselende serie, u de verhouding toe te passen op de positieve versie ervan om te zien of je kan aantonen dat het absoluut convergent:

Inzicht in de Interval van Convergence

Ten eerste, wil je dit een beetje te vereenvoudigen:

Inzicht in de Interval van Convergence

Vervolgens moet je uitbreiden uit de exponenten en faculteiten:

Inzicht in de Interval van Convergence


Op dit punt, veel annuleren is mogelijk:

Inzicht in de Interval van Convergence


Deze keer de limiet valt tussen -1 en 1 voor alle waarden van x. Dit resultaat geeft aan dat de reeks convergeert absoluut voor alle waarden van x, dus de afwisselende reeks convergeert ook voor alle waarden van x.