De Middelwaardestelling

Je hoeft niet de gemiddelde waarde stelling voor veel nodig, maar het is een beroemde stelling - een van de twee of drie belangrijkste van heel calculus - dus je moet echt leren. Gelukkig, het is heel eenvoudig.

De Middelwaardestelling


Een illustratie van de Middelwaardestelling.

Hier is de formele definitie van de stelling.

De m ean v alue t heorem: Als f continu op het gesloten interval [a, b] en differentieerbare op het open interval (a, b), dan bestaat er een getal c in (a, b) zodanig dat

De Middelwaardestelling


Nu voor het gewoon Engels versie. Eerst moet je zorgen voor de kleine lettertjes. De eisen in de stelling dat de functie continu en differentieerbaar net te garanderen dat de functie is een regelmatige, gladde functie zonder hiaten of scherpe hoeken of knobbels. Maar omdat slechts een paar rare functies hebben hiaten of puntige bochten, je niet vaak hoeft te maken over deze fijne punten.

Oke, dus hier is wat de stelling betekent. De snijlijn verbindingspunten (a, f (a)) en (b, f (b)) in de figuur heeft een helling gegeven door de formule:

De Middelwaardestelling

Merk op dat dit hetzelfde is als de rechterkant van de vergelijking in de Middelwaardestelling. De afgeleide in een punt is hetzelfde als de helling van de raaklijn op dat punt, zodat de stelling alleen maar dat er ten minste één punt tussen a en b moeten zijn waar de helling van de raaklijn is hetzelfde als de helling van de snijlijn van a naar b.

Waarom moet dit zo zijn? Hier is een visuele argument. Stel je voor dat je pak de snijlijn aansluiten (a, f (a)) en (b, f (b)), en het schuif je omhoog, waardoor het parallel aan de oorspronkelijke snijlijn. Kun je zien dat de twee snijpunten tussen deze glijdende lijn en de functie - de twee punten die beginnen op (a, f (a)) en (b, f (b)) - wordt geleidelijk aan steeds dichter bij elkaar totdat ze samen komen op (C, f ​​(c))?

Als je de lijn verder te verhogen, weg van de functie volledig te breken je. Op dit laatste snijpunt, (c, f (c)), de glijdende lijn raakt de functie op een enkel punt en dus raakt aan de functie er, terwijl dezelfde helling als de oorspronkelijke snijlijn.

Hier is een heel ander soort argument dat zou een beroep op uw gezond verstand. Als de functie in de figuur geeft uw auto kilometerstand als functie van de tijd, dan is de helling van de snijlijn van a naar b geeft uw gemiddelde snelheid tijdens dat interval van tijd, omdat de afstand te delen reisde, f (b) - f (a), door de verstreken tijd, b - een, geeft u de gemiddelde snelheid. Het punt (c, f (c)), gegarandeerd door de gemiddelde waarde stelling, is een punt waar je ogenblikkelijke snelheid - gegeven door de afgeleide f '(c) - is gelijk aan de gemiddelde snelheid.

Nu, stel dat u een station en gemiddeld 50 mijl per uur. De gemiddelde waarde stelling garandeert dat je gaat precies 50 mijl per uur gedurende ten minste één moment tijdens uw rit. Denk er over na. Uw gemiddelde snelheid kan 50 mph niet zijn als je gaat langzamer dan 50 de hele weg of als je sneller gaan dan 50 de hele weg. Dus, om gemiddeld 50 mph, ofwel ga je precies 50 voor de hele schijf, of je moet langzamer dan 50 ga voor een deel van de aandrijving en sneller dan 50 op andere tijden. En als je minder gaat dan 50 op één punt en meer dan 50 op een later tijdstip (of vice versa), moet je raken precies 50 ten minste een keer als je versnellen (of vertragen). Je kunt niet springen over 50 - als je gaat 49 ene moment dan 51 de volgende - omdat snelheden omhoog gaan door te schuiven op de schaal, niet springen. Dus, op een bepaald punt, je snelheidsmeter glijdt afgelopen 50 mph, en voor minstens één moment, je gaat precies 50 mph. Dat is alles wat de gemiddelde waarde stelling zegt.